1.1 이등변삼각형의 성질 · 삼각형의 성질

HOOK

왜 두 변이 같으면 두 각도 같을까?

A simple shape with a profound symmetry.

이등변삼각형은 글자 그대로 "두 변이 같은 삼각형"입니다. 종이를 반으로 접어 가위로 잘라 펼치면 만들어지는 가장 친숙한 모양 — 좌우가 거울처럼 똑같습니다.

이 좌우대칭은 단순한 시각적 인상이 아닙니다. 변의 길이가 같으면 마주보는 각의 크기도 같다는 깊은 법칙을 품고 있습니다. 그리고 그 역도 성립합니다 — 두 각이 같으면 두 변도 같다.

유클리드는 이 사실을 『원론』의 다섯 번째 명제에서 처음으로 합동을 도구로 증명했습니다. 그 명제가 그 유명한 "당나귀의 다리(Pons Asinorum)"입니다. 우리도 같은 길을 걸어 봅시다.

$\overline{AB} = \overline{AC}$이면 $\angle B = \angle C$

CORE CONCEPT

이등변삼각형의 두 가지 성질

Two theorems that capture the symmetry of an isosceles triangle.

DEFINITION · 정의

이등변삼각형이란?

두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라 합니다. 같은 두 변을 이등변(legs), 나머지 한 변을 밑변(base)이라 합니다. 두 이등변이 만나는 꼭짓점의 각을 꼭지각(apex angle), 밑변의 양 끝 각을 밑각(base angles)이라 합니다.

$\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = \overline{AC}$ ⟹ 이등변삼각형
두 이등변 AB, AC · 밑변 BC · 꼭지각 A · 밑각 B, C

THEOREM 1 · 정리 1

이등변삼각형의 두 밑각은 같다

이등변삼각형에서 두 이등변의 길이가 같으면, 마주보는 두 밑각의 크기도 같다는 것이 첫 번째 성질입니다.

$\overline{AB} = \overline{AC}$ ⟹ $\angle B = \angle C$
The two base angles are equal.

PROOF · 증명

$\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = \overline{AC}$일 때, $\angle B = \angle C$임을 증명하라.

꼭지각 $\angle A$의 이등분선이 $\overline{BC}$와 만나는 점을 $M$이라 하자.
$\triangle ABM$과 $\triangle ACM$에서

$\overline{AB} = \overline{AC}$ (가정)
$\angle BAM = \angle CAM$ (이등분선)
$\overline{AM}$ 공통

따라서 SAS 합동에 의해 $\triangle ABM \equiv \triangle ACM$. 대응각이 같으므로 $\angle B = \angle C$. Q.E.D.

THEOREM 2 · 정리 2

꼭지각의 이등분선은 밑변의 수직이등분선

이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 단순히 각을 나누는 선이 아닙니다. 이 선은 동시에 밑변을 수직으로 이등분합니다 — 세 가지 역할을 한꺼번에 하는 마법의 선입니다.

$\overline{AM}$이 $\angle A$의 이등분선 ⟹ $\overline{BM} = \overline{CM}$ 그리고 $\overline{AM} \perp \overline{BC}$
Angle bisector = Perpendicular bisector of the base.

PROOF · 증명

정리 1의 증명에서 $\triangle ABM \equiv \triangle ACM$이었다. 이 합동에서 추가 사실을 읽자.

대응변: $\overline{BM} = \overline{CM}$ → $M$은 $\overline{BC}$의 중점
대응각: $\angle AMB = \angle AMC$. 그런데 $\angle AMB + \angle AMC = 180°$ (일직선)이므로 $\angle AMB = \angle AMC = 90°$ → $\overline{AM} \perp \overline{BC}$

따라서 꼭지각의 이등분선 $\overline{AM}$은 밑변 $\overline{BC}$를 수직이등분한다. Q.E.D.

CONVERSE · 역

역도 성립한다 — 두 각이 같으면 두 변도 같다

$\triangle ABC$에서 $\angle B = \angle C$이면, 마주보는 두 변도 같다 ($\overline{AB} = \overline{AC}$). 즉 이등변삼각형이다.

$\angle B = \angle C$ ⟹ $\overline{AB} = \overline{AC}$
If two angles are equal, the sides opposite them are equal.

증명 요약: $A$에서 $\overline{BC}$에 수선을 내려 발을 $H$라 하자. $\triangle ABH$와 $\triangle ACH$에서 $\angle B = \angle C$, $\angle AHB = \angle AHC = 90°$, $\overline{AH}$ 공통 → ASA 합동(또는 AAS) → $\overline{AB} = \overline{AC}$. Q.E.D.

QUICK CHECK

개념 확인 5

Five rapid checks to lock in the symmetry.

Q · 01

이등변삼각형 $\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = \overline{AC}$, $\angle A = 50°$일 때 $\angle B$의 크기는?

풀이: 두 밑각이 같으므로 $\angle B = \angle C = \dfrac{180° - 50°}{2} = 65°$.

Q · 02

이등변삼각형에서 두 밑각이 각각 $70°$일 때 꼭지각의 크기는?

풀이: 꼭지각 $= 180° - 70° \times 2 = 40°$.

Q · 03

이등변삼각형 $\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = \overline{AC} = 8$, $\overline{BC} = 6$. 꼭지각의 이등분선이 $\overline{BC}$와 만나는 점을 $M$이라 할 때 $\overline{BM}$의 길이는?

풀이: 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 $\overline{BM} = \overline{CM} = \dfrac{6}{2} = 3$.

Q · 04

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선과 밑변이 이루는 각의 크기는?

풀이: 정리 2에 의해 꼭지각의 이등분선은 밑변에 수직이므로 $90°$.

Q · 05

$\triangle ABC$에서 $\angle B = \angle C$이면 어떤 두 변이 같은가?

풀이: "두 각이 같으면 두 변도 같다" (역 정리). $\angle B$의 대변은 $\overline{AC}$, $\angle C$의 대변은 $\overline{AB}$이므로 $\overline{AB} = \overline{AC}$.

WORKED EXAMPLES

예제 2제

Two examples that walk through the reasoning step by step.

EXAMPLE · 01

$\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = \overline{AC}$이고 $\angle A = 80°$이다. $\overline{BC}$의 연장선 위의 한 점을 $D$라 할 때 $\angle ACD$의 크기를 구하라.

핵심: 두 밑각이 같다는 사실 + 외각의 성질.

STEP 1

이등변삼각형이므로 $\angle B = \angle C$. 두 밑각의 합 $= 180° - 80° = 100°$. 따라서 $\angle B = \angle C = 50°$.

STEP 2

$\angle ACD$는 $\angle C$의 외각 ($\overline{BC}$를 $D$ 쪽으로 연장한 각). 일직선각이므로 $\angle ACD = 180° - \angle ACB = 180° - 50° = 130°$.

답: $\angle ACD = 130°$

EXAMPLE · 02

$\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = \overline{AC}$이고 $\angle B = 70°$이다. $\angle B$의 이등분선이 $\overline{AC}$와 만나는 점을 $D$라 할 때 $\angle BDC$의 크기를 구하라.

핵심: 밑각의 이등분선이 만드는 작은 삼각형의 내각의 합.

STEP 1

$\overline{AB} = \overline{AC}$이므로 $\angle B = \angle C = 70°$. 꼭지각 $\angle A = 180° - 140° = 40°$.

STEP 2

$\overline{BD}$가 $\angle B$의 이등분선이므로 $\angle DBC = \dfrac{70°}{2} = 35°$.

STEP 3

$\triangle BDC$의 내각의 합: $\angle DBC + \angle BCD + \angle BDC = 180°$. 즉 $35° + 70° + \angle BDC = 180°$. 따라서 $\angle BDC = 75°$.

답: $\angle BDC = 75°$

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge. Type each answer and check.

P · 01★

이등변삼각형 $\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = \overline{AC}$, $\angle A = 40°$일 때 $\angle B$의 크기는? (단위 없이 숫자만)

힌트: $\angle B = (180° - 40°) / 2$.

P · 02★

이등변삼각형 $\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = \overline{AC}$, $\angle B = 75°$일 때 꼭지각 $\angle A$의 크기는?

힌트: $\angle A = 180° - 2 \times 75°$.

P · 03★

이등변삼각형 $\triangle ABC$에서 꼭지각의 이등분선이 밑변 $\overline{BC}$와 이루는 각의 크기는?

힌트: 정리 2 — 꼭지각의 이등분선은 밑변의 수직이등분선.

P · 04★★

$\overline{AB} = \overline{AC}$인 $\triangle ABC$에서 점 $D$가 $\overline{BC}$ 위에 있고 $\overline{AD}$가 $\angle A$를 이등분한다. $\angle ADB$의 크기는?

힌트: 꼭지각 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

P · 05★★

이등변삼각형 $\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = \overline{AC}$, $\angle B = 50°$일 때 $\angle A + \angle C$의 값?

힌트: $\angle C = \angle B = 50°$, $\angle A = 180° - 2 \times 50° = 80°$. 둘의 합.

P · 06★★

$\triangle ABC$에서 $\angle B = \angle C$이고 $\overline{AB} = 5$, $\overline{BC} = 8$. 이 삼각형의 둘레의 길이는?

힌트: 역 정리에 의해 $\overline{AB} = \overline{AC} = 5$. 둘레 $= 5 + 5 + 8$.

P · 07★★★

이등변삼각형 $\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = \overline{AC}$, $\angle BAC = 100°$이다. 점 $D$를 $\overline{BC}$ 위에 잡아 $\overline{AD} = \overline{BD}$가 되게 한다. 이때 $\angle ADC$의 크기는?

힌트: $\angle B = (180-100)/2 = 40°$. $\triangle ABD$는 $\overline{AD} = \overline{BD}$이므로 이등변, $\angle BAD = \angle B = 40°$. 따라서 $\angle ADB = 100°$, $\angle ADC = 180° - 100°$.

P · 08★★★

$\overline{AB} = \overline{AC}$인 $\triangle ABC$에서 $\angle A = 36°$. $\angle B$의 이등분선이 $\overline{AC}$와 만나는 점을 $D$라 할 때, $\triangle BDC$에서 같은 길이인 두 변은? (답: 변 두 개를 BD=BC 형태로)

힌트: $\angle B = \angle C = 72°$. $\angle DBC = 36°$. $\triangle BDC$에서 내각 $\angle BDC = 180 - 36 - 72 = 72° = \angle C$. 같은 두 각의 대변이 같다 — 황금삼각형!

이등변삼각형의 성질